　先日、以下のツイートがややバズりました。

VR界で4次元立方体がバズってるから私が作った5次元立方体ももうちょい流行ってもよくない？ pic.twitter.com/unagNhuoqg
— Hibit (@hibit_at) 2018年9月6日

　主にプログラミングに関する解説については、qiitaに載せましたが、

　5次元のままでは3次元で描画できないので3次元に投影する必要があります。投影の方法としてはステレオ投影が有名ですが、これだけだと1次元しか集約できないので、その他に斜投影を使います。

　の辺りは数学的な予備知識がないとサッパリだと思うので、このエントリではその辺りに解説を加えていきたいと思います。

そもそも次元とは

　ここではn次元空間に限って話そうと思います。

1次元は軸が1つ　→　直線
2次元は軸が2つ　→　平面
3次元は軸が3つ　→　空間

　というのは比較的理解しやすいと思いますが、じゃあその次に来る4次元とは何なのか？　というのは非常に想像しづらいと思います。まず言っておかなければならないのは、

「4次元空間 = 3次元空間 + 時間」ではない

　ということです。確かに時間を加えると新たな情報の軸ができますが、それは空間と等価ではありません。あくまで擬似的な解釈です。更に5次元までいくと「5次元空間 = 3次元空間 + 時間 + 並行世界だ」という意見も見かけますが、それも間違い、というか不完全な解釈です。

　2次元の場合に落として考えるとわかりやすいと思いますが、1m*1mの正方形が1秒間存在したら「2次元空間＋時間」という意味では3次元ですが、これは「立方体」と言えるでしょうか。言えないです。そもそも1m = 1sではないですし、3次元空間ならばできるはずの回転といった動作が定義できません。同様に、立法体が1秒間存在したとしても、それをもって3次元生命体である我々が「4次元立方体（八胞体、Tesseract）を見た！」とは言えません。（相対性理論まで考えれば光速×時間は空間と等価になりミンコフスキー空間内での回転を考えることができますが、そういうのはおいといて）

　5次元空間はあくまで5次元の空間です。我々が普段、「空間」として3つの軸が5つに増えただけです。ただ、我々がそれを観ることはどうしても不可能です。

感じることは出来ないが、考えることはできる

　我々がありのままの多次元立方体を観るのは不可能です。あきらめましょう。

　……というのでは悲しいので、なんとかして観る方法を考えます。

　いきなり5次元だとハードルが高いので、4次元立方体から考えます。

f:id:hibit_at:20180914191816p:plain ↑こんなやつ

　ここでも次元を落として考えましょう。3次元の物体の形状をどうにかして相手に伝えたい時に、紙に描きます。3次元立方体を描くとしたら、次のような図を描くのではないでしょうか。（そして今わたしも2次元のディスプレイに写しています）

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　ここで我々は無意識に「投影（projection）」という行為を行っています。太陽の影が人間の体（3次元）を地面に影（2次元）として写すように、元の情報を「押しつぶして」次元を1つ下げているのです。では、どのように押しつぶすのか？　人間が立方体を紙に描くときは、上の図のように「いい感じの」角度で描きますが、これだと2次元人に立方体を説明するのは困難だと思います。多分、

「なんだこの歪んだ形は？　これが正方形なんて信じられないよ」

　と言われると思います。これが歪んでないと感じるのは、あなたが3次元人だからです。愚かな2次元人に説明しやすくするために、もう少し「真っ直ぐ」な位置に太陽を設定するとどうでしょう。

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　立方体の真上に太陽があるとします。ABCDの点は、A'B'C'D'の位置に影が落ちることがわかると思います。これを太陽の視点から見下ろすと

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　こうなります。愚かな2次元人には、上の図が描かれた紙を見せながらこう説明するとしましょう。

「どうだい？　A'B'C'D'は正方形、EFGHも正方形であることはわかるだろう？　本当はその周りにある4つの四角形も正方形だけど、紙に書くにはこうするしかなかったんだ。全ての辺が同じ長さで、全ての辺が直角に交わっていると言っても信じられないかな。え？　正方形の中に正方形があるじゃないかって？　説明しづらいな……まあ君ら2次元人には理解できないか」

それでは次元を1つ上げてみよう

　今度は愚かになるのは我々人間さんサイドになります。今度は4次元の図を3次元の図に投影します。とは言っても、4次元での描画は当然不可能なのでなにか方法を考えます。そこで、元々の3次元空間を圧縮して「平面」と考えると、次のような形で先程とまったく同じ投影を考えることができます。

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　こうして3次元世界に投影された4次元立方体が以下の図になります。

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　内側にある立方体が、上図で赤で描いた「平面」です。太陽から遠いため、その分「影」が小さいです。外側にある立方体が、上図で青で描いた「平面」です。太陽に近いため、その分「影」が大きいです。

　数式で書くとこんな感じです。（※ 4次元目を $w$ とする）

$x' = \frac{x}{2-w}$
$y' = \frac{y}{2-w}$
$z' = \frac{z}{2-w}$

　四次元人（誰？）は上図の形をした立体を見せながらこう説明するでしょう。

「どうだい？　内側にあるのも立方体、外側にあるのも立方体であることはわかるだろう？　本当はその外側にある6つの立体も立方体だけど、この世界に持ってくるにはこうするしかなかったんだ。全ての辺が同じ長さで、全ての辺が直角に交わっていると言っても信じられないかな。え？　立方体の中に立方体があるじゃないかって？　説明しづらいな……まあ君ら3次元人には理解できないか」